Jag tänker att det kan vara sådär med 100-400 eller Sigma/Tamron 150-600 helt enkelt p g a den förhållandevis lilla maxbländaren. Fota fåglar och djur gör man ju ofta i bristfälligt ljus. Det är ofta då de är aktiva, och då man kan undvika värmedaller. Jag tänker att du kanske borde fundera på ett 300/4 istället. Ett steg extra ljus gör jättestor skillnad, det känns viktigare än 100 mm extra och bländare 5,6. 300/4 fixar även en 1,4 extender med bra resultat om ljuset medger. Dock blir det kort för fågel, men borde funka för större däggdjur.
Jag funderar på om det för fågelfoto kan vara värt att köpa ett beggat 300/4 för 7-8k och sedan en beggad 70D eller ännu hellre 7D II för 3-5k. Med brännviddsförlängningen på dessa kameror motsvarar ett 300/4 480 mm på din 6D, dvs att det blir motsvarande ett 500/4 i synfält. Dessutom är de betydligt bättre "actionkameror" med mer lämplig autofokus och serietagningshastighet, särskilt 7D II. De är sämre på högre ISO-tal än 6D, men funkar på ISO1600 om du inte behöver beskära särskilt mycket.
Du bör klara att landa ett 300/4 + 7D II på eller strax över budget på 12kkr.
Sedan behåller du din 6D för annat foto eller gömslefoto där 300 på fullformat räcker ibland. Likaså fota räv och större djur, det funkar nog bra.